Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes...
Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment fait-on pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un arbre entier ?
En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite.

Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout".

Vous l'avez bien compris, la géométrie fractale permet de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la propriété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l' oeil nu, vous allez voir la même chose. 
Cette particularité d'auto similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autre.

Le terme "fractale" vient du latin, "fractus" qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière.
C'est Benoît Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques.

Un exemple simple et surprenant : "Quelle est la longueur de la côte de la Bretagne?"

À la question ci-dessus, il n'y a pas une bonne réponse mais plusieurs: tout dépend de l'échelle. Mandelbrot arrive à cette  conclusion a priori étonnante par le processus suivant: à partir d'une série de photographies prises à 10 000 m d'altitude,  on calcule, grâce au coefficient d'homothétie, la longueur de la côte visible avec un pouvoir de séparation de l'ordre du décamètre;  si l'on répète la même opération par le même procédé à 500 m d'altitude, les photographies font apparaître des détails au mètre près, la côte est plus précise, et sa longueur... plus grande.

Si les mesures se font ensuite au sol, la longueur de la côte augmente encore. En allant encore plus loin dans la précision, galet par galet, molécule par molécule, atome par atome, on arriverait vite à une longueur infinie.
Plus l'instrument de mesure s'affine, plus la longueur augmente, car une fraction de la côte au niveau du sol reste aussi complexe que la côte entière vue à 10 000 m d'altitude.